求多元函数的极限要比求一元函数的极限复杂很多,常用的做法是把问题转化为一元函数的极限,因为一元函数求极限有反复介绍和使用的工具和方法,其中二元函数极限是大一学生必学的高等数学内容,学过高等数学的都知道一元函数极限中最值得研究,也是最令人感兴趣之一的问题是无穷小之比的极限,其实多元函数也是如此。但是,如果不小心,那么在求这一类多元函数的极限时就会犯一些低级的错误。譬如,在极限的运算过程中缩小了函数的定义范围,这样求出的极限只是函数在较小范围内的极限,虽然求出的极限可能是正确的,但这样的求极限方法是有问题的。如果这些错误在考试中出现,对学生成绩会造成负面影响,在文献[1]中也有过关于这方面的一些讨论。笔者注意到,一般教材都避开讨论这类二元函数无穷小之比的极限问题,即使是著名的菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》^[2]也没有这样的例子,而吉米多维奇的《数学分析习题集》^[3]也很少有这样的习题。笔者尝试做一些简单的探讨,试图来修正这些做法,给出2个定理,在它们的帮助下,这些常见的错误做法求出的极限就有了依据,成为正确的答案。同时,在不增加结论的基础上也给出一些正确的做法。

例1 讨论函数f(x,y)={(x²y²)/(x²+y²), x²+y²≠0,

0, x²+y²=0, 在原点处的连续性。

解

lim_x→0y→0f(x,y)=lim_x→0y→0(x²y²)/(x²+y²)=lim_x→0y→01/(x^-2+y^-2)=0,(因为lim_x→0x^-2=lim_y→0y^-2=∞)。(1)

例2 求极限lim_x→0y→0(sin(x²y))/(x²+y²)。

解

lim_x→0y→0(sin(x²y))/(x²+y²)=lim_x→0y→0(sin(x²y))/(x²y)·(x²y)/(x²+y²)。(2)

令u=x²y,则由(x,y)→(0,0),得u→0,于是有lim_x→0y→0(sin(x²y))/(x²y)=lim_u→0(sinu)/u=1。

又

0≤|(x²y)/(x²+y²)|≤|(x²y)/(2xy)|=(|x|)/2,(3)

因lim_x→0y→0(|x|)/2=0,所以根据夹逼准则(也称迫敛性)^[4-7],有lim_x→0y→0(x²y)/(x²+y²)=0。这样,所求极限为0。

显然,式(1)～(3)不符合原来的定义域,即缩小了原来的定义域。

从上面的例子看出,错误的源头在于缩小了原来的定义域。值得指出的是,不能认为lim_x→0y→0(sin(x²y))/(x²+y²)=lim_x→0y→0(x²y)/(x²+y²)是合理的做法,或者替代的做法。事实上,其错误和式(2)是一样的。一般而言,如果极限在更大的范围里存在,那么,在更小的范围里所求的极限也是这个值。但如果求极限是在较小的范围里面得到的,那么这个极限就不能作为更大的范围的结果使用,换言之,求极限的方法有问题^[4-7]。

例2的第一个错误是比较常见的,似乎顺理成章地使用了一元函数的求极限方法。但由于原先极限x,y可取除原点之外的点,而除以x²y以后缩小了x,y的取值范围,即x,y都不能取坐标轴上的点。因此,该做法不可取。但这样的做法在有些教材中出现,更多的在解答书中看到,也就是一不小心忽视了函数的定义域。其根源还是在于求一元函数的极限时经常使用一个无穷小再除以一个无穷小,但这种等价无穷小替代定理^[4-7]要求分子分母都是无穷小的。有些学生经常不管分母是否是无穷小都在使用这个等价无穷小替代定理,甚至在一元函数求极限的时候有时也使用。

例2题的正确做法应该是:

解 因对于任何实数α,有|sinα|≤|α|,故有

0≤(|sin(x²y)|)/(x²+y²)≤|(x²y)/(x²+y²)|≤1/2|(x²+y²)/(x²+y²)||x|≤1/2|x|,

而lim_x→0y→01/2|x|=0,所以由夹逼准则,得lim_x→0y→0(sin(x²y))/(x²+y²)=0。

命题^[4] 极限lim_P→P0P∈Df(P)存在的充要条件是:对于D中任一满足条件P_n≠P₀且lim_n→∞P_n=P₀的点列{P_n},它所对应的函数列{f(P_n)}都收敛。

定理1 若函数f(x,y)在原点的某个去心邻域U^°((0,0),δ)(δ>0)内连续,且lim_{(x,y)→(0,0)xy≠0}f(x,y)=A,那么lim_x→0y→0f(x,y)=A。

证明 选择任何一个序列{(x_m,y_m)}U((0,0),δ)-{(0,0)},使得当m→+∞时,(x_m,y_m)→(0,0)。

如果{(x_m,y_m)}∩{(x,y)|xy=0}是一个有限集,那么,lim_m→∞f(x_m,y_m)=A,如果{(x_m,y_m)}∩{(x,y)|xy=0}是一个无限集,则可以不妨设

{(x_m,y_m)}∩{(x,y)|xy=0}={(x_mk,y_mk)}。

它是{(x_m,y_m)}的子列,且每个点都是在坐标轴上,根据题设,这些点都是函数f(x,y)的连续点,于是存在一个序列{((-overx)_k,(-overy)_k)}{U((0,0),δ)∩{(x,y)|xy≠0}},使得d(((-overx)_k,(-overy)_k),(x_mk,y_mk))<1/k。这里d表示两点之间的距离度量(即黎曼度量),而且|f((-overx)_k,(-overy)_k)-f(x_mk,y_mk)|<1/k,即

f((-overx)_k,(-overy)_k)-1/k<f(x_mk,y_mk)<f((-overx)_k,(-overy)_k)+1/k,

夹逼准则和假设意味着lim_k→∞f(x_mk,y_mk)=lim_k→∞f((-overx)_k,(-overy)_k)=A。

但{f(x_mk,y_mk)}在数列{f(x_m,y_m)}中的余集也是{f(x_m,y_m)}的子列,而且如果是无限集其极限就是A,如果是有限集,数列{f(x_m,y_m)}的极限就是{f(x_mk,y_mk)}的极限,因此,lim_m→∞f(x_m,y_m)=A。对于任何一个U((0,0),δ)-{(0,0)}中趋于{(0,0)}点列{(x_m,y_m)},子列{f(x_m,y_m)}的极限都是A,由海涅定理(归结原则)^[4],可得lim_x→0y→0f(x,y)=A。

这样就完成了定理的证明。

这个定理也可以推广到更一般的情形,即:

定理2 已知函数f(P)在点P₀的某个去心邻域U内连续,VU且V的每一点均是U的聚点^[2,4-5],P₀∈V,若lim_{P→P0P∈U-V}f(P)=A,则lim_P→P0P∈Uf(P)=A。

证明可以参照定理1。

上述2个定理说明了例2中的做法如果以这两个定理之一作为铺垫,那么就合理了,所以,建议教材列入这两个定理之一,否则就会有概念混乱的现象,或者在教材中避谈这一类的极限,但这是极限理论的一个缺憾。将一元函数的等价无穷小替代使用到求二元函数极限中,这是非常便利的做法,如果避开这种方法,这类问题可能只能使用函数极限的夹逼准则或者极限的ε-δ^[4-6]语言了,而这是工科学生的弱项。使用这两种方法,一般没有固定的做法。