Airy光束传输特性的理论和实验研究是近年来十分热门的研究领域之一。其原因是Airy光束具有横向自加速偏转、长距离衍射自由、自修复等奇异的性质。2007年11月,Siviloglou等在试验中观察到了Airy光斑的传输,试验结果与理论预测十分吻合^[1-2]。由此Airy光束引起了学术界的高度关注^[3-7],全球相关领域科研人员纷纷投入到对Airy光束的研究中去^[8-10],2008年以来发表了大量有价值的研究论文^[11-13]。而光子晶体目前依然是热门研究的人工复合电磁介质之一。光子晶体是周期性排列的金属或者介质构成的晶体,通过改变光子晶体介质结构和相关参数可以在光子晶体中形成完全光子禁带。频率在禁带范围内的光波都不能在其中传播,同时可调控光束在光子晶体中的传输特性^[14-15]。鉴于光子晶体的这种独特的性质,人们可以利用光子晶体控制光以及电磁波的传播。

利用光子晶体可调控光束传播的独特性质可以实现对Airy光束通过一维光子晶体中传输特性的调控。因此,笔者利用ABCD矩阵光学理论,推导出Airy光束在一维光子晶体中传输的解析表达式,并利用该解析表达式研究Airy光束通过一维光子晶体的传输

图1 一维光子晶体结构示意
Fig.1 Structure of a one-dimensional photonic crystal

一维光子晶体的结构如图1所示,其中n₁为第一层介质的折射率,n₂为第二层介质的折射率,l为一个周期的长度,m为重复的周期数^[14]。令n₁介质层的厚度为αl,则n₂介质层的厚度为(1-α)l,α为一维光子晶体结构参数。

利用矩阵光学理论可得该一维光子晶体的变换矩阵:

(1)

式(1)中:l₁和l₂为折射率为n₁和n₂介质的厚度。令l₁=αl,l₂=(1-α)l,n₂=βn₁,则式(1)可简化为:

本文研究傍轴传输情况,故在直角坐标系中取z轴为光束的传输轴。Airy光束的光场在初始平面可表示为:

E(x₀,y₀,0)=Ai((x₀)/(w_x0))exp((ax₀)/(w_{x 0}))Ai((y₀)/(w_{y 0}))exp((ay₀)/(w_{y 0}))。(2)

式(2)中:w_{x 0}和w_{y 0}为任意的横向尺度; a为指数调制因子,是一个较小的正数^[9-10]。Ai(·)为Airy函数,其定义为:

Ai(x)=∫^∞_-∞exp((iu³)/3+ixu)du。(3)

当Airy光束通过一维光子晶体时,由柯林斯公式可得Airy光束的传输方程^[16]:

E(x,y,z)=(ik)/(2πB)∫∫E(x₀,y₀,0)exp{(-ik)/(2B)[A(x²₀+y²₀)-2(xx₀+yy₀)+D(x²+y²)]}dx₀dy₀。(4)

式(4)中:k为波数,k=(2π)/(λ₀)(λ₀为Airy光束在真空当中的波长)。将式(2)代入式(4),Airy光束通过一维光子晶体的传输方程可改写为:

E(x,y,z)=E(x)E(y)。(5)

式(5)中:

E(x)=∫((ik)/(2πB))^1/2exp[-ik/(2B)(Ax²₀-2x₀x+Dx²)]Ai((x₀)/(w_{x 0}))exp((ax₀)/(w_{x 0}))dx₀;(6)

E(y)=∫((ik)/(2πB))^1/2exp[-ik/(2B)(Ay²₀-2y₀y+Dy²)]Ai((y₀)/(w_{y 0}))exp((ay₀)/(w_{y 0}))dy₀。(7)

将式(3)代入式(6)、式(7),经积分整理可得:

E(x)=1/(A^1/2)Ai(x/(Aw_x0)-(B²)/(4A²k²w⁴_x0)+i(aB)/(Akw²_x0))exp(-i(kCx²)/(2A))×

exp((ax)/(Aw_x0)-a(B²)/(2A²k²w⁴_x0)-i(B³)/(12A³k³w⁶_x0)+i(a²B)/(2Akw²_x0)+i(Bx)/(2A²kw³_x0));(8)

E(y)=1/(A^1/2)Ai(y/(Aw_y0)-(B²)/(4A²k²w⁴_y0)+i(aB)/(Akw²_y0))exp(-i(kCy²)/(2A))×

exp((ay)/(Aw_y0)-a(B²)/(2A²k²w⁴_y0)-i(B³)/(12A³k³w⁶_y0)+i(a²B)/(2Akw²_y0)+i(By)/(2A²kw³_y0))。(9)

将式(8)、式(9)代入式(5)即可得到Airy光束的传输方程:

E(x,y,z)=1/Aexp(-i(kC(x²+y²))/(2A))Ai(x/(Aw_x0)-(B²)/(4A²k²w⁴_x0)+i(aB)/(Akw²_x0))×

exp((ax)/(Aw_x0)-a(B²)/(2A²k²w⁴_x0)-i(B³)/(12A³k³w⁶_x0)+i(a²B)/(2Akw²_x0)+i(Bx)/(2A²kw³_x0))×

Ai(y/(Aw_y0)-(B²)/(4A²k²w⁴_y0)+i(aB)/(Akw²_y0))×

exp((ay)/(Aw_y0)-a(B²)/(2A²k²w⁴_y0)-i(B³)/(12A³k³w⁶_y0)+i(a²B)/(2Akw²_y0)+i(By)/(2A²kw³_y0))。(10)

式(10)中:A、B和C分别为一维光子晶体光学系统的矩阵元。从式(10)可以看出,Airy通过一维光子晶体的传输特性取决于矩阵元A、B和C,但因为A为1、C为0,因此传输特性完全由B决定。传输矩阵元B可以通过改变一维光子晶体结构和介质的折射率调控,故可以通过改变一维光子晶体结构和介质的折射率来调控Airy通过一维光子晶体的传输特性。

根据以上分析,通过计算得到了Airy光束通过一维光子晶体的传输特性。Airy光束和一位光子晶体相关参数选取:m=10,l=1 mm,n₁=1.8,λ₀=632.8 nm,w_x0=w_y0=0.05 mm,a=0.1。通过式(10)得到,改变光子晶体相关参数就可调控Airy光束通过光子晶体的光强和自加速。图2为光子晶体参数β=0.1,参数α取0.3、0.5、0.7、0.9时的光强分布。从图中可以看出,减小参数α的值,Airy光束将沿x -y轴对角线方向加速偏转; 参数α的值越小,Airy光束侧面旁瓣的数量越多。

图2 β=0.1,α取0.3、0.5、0.7、0.9时Airy光束通过光子晶体的光强分布
Fig.2 Intensity distribution of Airy beams through one -dimensional photonic crystal, when β=0.1, α being 0.3,0.5,0.7,0.9

图3为光子晶体参数α=0.1,参数β取0.1、0.2、0.3、0.4时的光强分布。从图中可以看出,减小参数β的值,Airy光束将沿x -y轴对角线方向加速偏转; 参数β的值越小,Airy光束侧面旁瓣的数量越多。该结论是合理的,因为一维光子晶体的结构参数α、β的变化使得光学传输矩阵改变,进而改变了Airy光束通过一维光子晶体的传输特性。

图3 α=0.1,β取0.1、0.2、0.3、0.4时Airy光束通过光子晶体的光强分布
Fig.3 Intensity distribution of Airy beams through one-dimensional photonic crystal, when α=0.1, β being 0.1,0.2,0.3,0.4

笔者研究了Airy光束通过一维光子晶体的传输与调控,通过改变一维光子晶体结构参数实现了对Airy光束传输特性的计算与调控。研究结果表明,可以通过改变一维光子晶体结构参数的实现对Airy光束的光强和自加速的调控; 通过传输介质参数的设计实现对光束真正意义上的控制。此项研究成果将在医学、生物科学、以及光学器件调控的设计上有着极为广阔的应用前景。