风能是绿色能源,储量大、分布广、无污染,近年来得到了世界各国的广泛关注。风力发电是风能利用的主要形式^[1-2]。随着中国风力发电技术的日益成熟,全国风电总装机容量一直保持着快速增长的态势。在风电场的设计研究中,基本目标是最大限度地利用当地风能资源,并利用最少的成本获得最大的发电收益。而实现该目标的前提是要求风电场风速与风力发电机组匹配,即风电机组选型合理。为此,国内外专家学者提出了不少选型指标,其中容量系数是机组选型时考量的一个重要性能指标,它反映了风力发电机组风能利用情况。通常情况下,根据当地风速数据利用WASP等软件就可以粗略估算出年发电量,再通过计算年发电量与理论发电量的比值求取容量系数^[3-4]。Albadi^[5]、Huang^[6]、张旭乐^[7]等均采用Weibull分布函数和风力发电机组输出特性的三次函数积分计算容量系数。杨星光^[8]等提出利用风速Weibull分布函数与风电机组输出特性的线性函数积分得出容量系数。风力发电机组的输出特性函数主要有线性函数、二次函数、三次函数、多项式函数等7种数学模型^[9-12],其中,二次函数更接近于风力发电机组稳定运行时输出功率的变化规律^[13]。在上述研究的基础上,笔者基于风速Weibull分布函数和风力发电机组输出特性的二次函数,建立了一个新的容量系数CF数学模型。

容量系数是衡量风电场风力发电机组设计与选型时的重要参数,它反映了风电场风速与风力发电机组的匹配程度。容量系数可定义为某段时间内风电场实际发电量与其全部时间均在额定功率下工作时的发电量的比值^[14]。然而,在风电场选址或风电机组选型时无法精确确定风电场的上网电量,因此只能近似计算风电场容量系数。容量系数可近似等于风力发电机组年平均发电功率与额定发电功率的比值。

根据国内外相关文献可知,描述风电场风速的变化规律主要有LogNormal分布、Rayleigh分布和Weibull分布^[15-17]。其中,Weibull分布被普遍认为最符合风电场风速的分布规律^[18-19],其概率密度函数可表示为:

f(v)=k/c(v/c)^k-1e^-(v/c)k。(1)

式(1)中:k为形状参数; c为尺度参数,m/s; v为风速,m/s。

风力发电机组输出特性曲线的二次函数^[20-21]可近似表示为:

P(v)={0, 0≤v≤v_c,

(v²-v²_c)/(v²_r-v²_c)·P_r, v_c<v<v_r,

P_r, v_r≤v≤v_f,

0, v>v_f。(2)

式(2)中:P_r为额定功率; v_c、v_r、v_f分别为切入风速、额定风速和切出风速。

已知风电场全年有效风速小时数T及风速v的Weibull分布函数,则每台风电机组年理论发电量计算公式可表示为:

Wt=T/2(∫vrvcρ ACpv3f(v)dv+∫vfvrρ ACpv3rf(v)dv)。(3)

将式(1)代入式(3),整理后得:

Wt=(ρ kATCp)/(2Ck)(∫vrvcvk+2e-(v/c)kdv+∫vfvrv3rvk-1e-(v/c)kdv)。(4)

式(4)中:ρ为空气密度; A为风轮横扫面积; C_p为风能利用系数。

容量系数可以通过对风力发电机组输出特性曲线函数和风速分布概率密度函数的乘积在切入风速和切出风速区间范围内进行积分计算而得:

CF=∫vrvc(v2-v2c)/(v2r-v2c)f(v)dv + ∫vfvrf(v)dv。(5)

将式(1)代入式(5),得:

CF = ∫vrvc(v2-v2c)/(v2r-v2c)·k/c(v/c)k-1e-(v/c)kdv + ∫vfvrk/c(v/c)k-1e-(v/c)kdv,(6)

令x=(v/c)^k,则dx=k/c(v/c)^k-1dv,v=cx^1/k,将式(6)中的dv消去并化简整理后得:

CF=-e^-((v_r)/c)k + 2/(v²_r-v²_c)·(c²)/k(∫^((v_r)/c)k₀e^-xx^2/k-1dx-∫^((v_c)/c)k₀e^-xx^2/k-1dx)+ e^-((v_r)/c)k-e^-((v_f)/c)k。(7)

已知标准伽马函数为:

Γ(a)=∫^∞₀t^a-1 e^-tdt。(8)

已知不完全伽马函数为:

P(x,a)=1/(Γ(a))∫^x₀t^a-1 e^-tdt。(9)

将v=cx^1/k,式(8)～(9)代入式(7)中,容量系数CF的表达式可以简化为:

CF=2/(v²_r-v²_c)·(c²)/kΓ(2/k)[P(((v_r)/c)^k,2/k)-P(((v_c)/c)^k,2/k)]-e^-((V_f)/c)k。(10)

式(10)中的尺度参数c和形状参数k的数学关系可表示为:

between c/(v^-) and kc=(v^-)/(Γ(1+1/k))。(11)

图1 c/(v^-)与k的变化关系
Fig.1 The relationship diagram of variation

根据式(11),利用Matlab软件将c/(v^-)与k的关系绘于图1中。从图1可以看出,当k在0到1.5这个范围时,c/(v^-)随着k值增大而增大; 而当k在1.5到3.5之间时,c/(v^-)近似等于一个常数,即1.125。

研究表明,风电场风速Weibull分布的k值一般情况下都在1.5到3.5这个范围内。所以,尺度参数c与平均风速v^-的关系可描述为:

c=1.125v^-。(12)

根据风切变幂定律,可将风力发电机组轮毂高度h处风速v^-表示为:

v^-=v^-₀(h/(h₀))^α。(13)

式(13)中:v^-₀为高度h₀处的风速,m/s; α为风切变指数。将式(13)代入式(12),推算出高度h处的尺度参数c为:

c(h)=1.125v^-₀(h/(h₀))^α。(14)

令H=h/(h₀),则c(h)=1.125v^-₀H^α,将其代入式(10),容量系数可表示为:

CF=(2.531v^-²₀H^2α)/((v²_r-v²_c)k)Γ(2/k)[P(((v_r)/(1.125v^-₀H^α))^k,2/k)-P(((v_c)/(1.125v^-₀H^α))^k,2/k)]-e^{-((v_f)/(1.125v^-₀Hα))k}。(15)

由式(15)可知,计算容量系数的数学模型包含7个参数,分别为风力发电机组的切入风速v_c、额定风速v_r、切出风速v_f、参考高度h₀、参考高度处平均风速v^-₀、风切变指数α和形状参数k。该数学模型充分反映了风电机组与风电场风资源的匹配情况,对风电场机组选型的研究具有一定的参考价值。

某风电场计划总装机容量为49.5 MW。该风电场所在地平均空气密度为1.04 kg/m³,测风塔10、70 m高度处年平均风速分别为6.2、8.0 m/s; 年平均风功率密度分别为224.1、486.6 W/m²; 年有效风速时数分别为7 786 h(3～25 m/s)、7 898 h(3～25 m/s)。不同高度处风速Weibull分布函数的参数如表1所示,风速分布曲线如图2所示。

表1 不同高度Weibull分布函数参数
Table 1 Weibull parameters at different height

图2 不同高度风速分布曲线
Fig.2 Weibull distribution of wind velocity at different height

根据风电场测风塔各高度的数据资料可知不同梯度范围内的风切变指数平均值,如表2所示。根据测风资料可知,该地区风能资源丰富,参照GB 18451.1—2001《风力发电机组安全要求》,该风电场适合选择IEC标准中的Ⅲ C类及以上的风力发电机组,且适合选择容量较大的机组,这样才能更好地利用风电场风能资源。本研究以单机容量1.5、2.0 MW的两种机型为例。表3列出了近年来5家主流风电设备制造商生产的10种机型的技术参数。

表2 风切变指数平均值
Table 2 The average of wind shear

表3 不同机型的技术参数
Table 3 Technical specifications of different models

该风电场总装机容量为49.5 MW,当选用机型容量为1.5 MW时,需要安装台数为33台; 当选用机组容量为2.0 MW时,需要安装台数为25台。根据式(4)和式(15)分别计算出不同型号机组的年理论发电量和容量系数,结果见表4。

表4 不同机型的年理论发电量和容量系数
Table 4 Calculated values of capacity factor and annual power generation of different models

由表3～4可知,在这10种机型中,联合动力UP86的切入风速为3 m/s,额定风速为10 m/s,切出风速25 m/s,塔架高度为80 m,其容量系数最大,为0.562 9。这说明此机型能更好地利用该地区的风能资源,因此,该风电场可选择此种机型。

图3 容量系数与年理论发电量的关系
Fig.3 Relationship between capacity factor and power generation in theory

为了更加直观地看出容量系数与年理论发电量的关系,绘制了两者的关系图,如图3所示。由图3可知,容量系数和年理论发电量的相关系数为0.909。这说明两者具有好的线性正相关关系,因此,可近似认为两者之间是线性关系。由容量系数的定义可知,年理论发电量越大,风电机组的容量系数也越大。这就论证了笔者建立的计算容量系数CF数学模型是可行的。

笔者根据风电场风速Weibull分布函数和风力发电机组输出特性的二次函数,建立了容量系数的数学模型。同时,根据某风电场的风资源数据,通过容量系数这一性能指标进行了理论分析,可以得出以下结论:当单机容量一定时,容量系数越大,风力发电机组理论发电量越大; 当额定功率、切入风速、额定风速、切出风速一定时,塔架高度越高容量系数也越大; 当额定功率、切入风速、切出风速一定时,额定风速越大则容量系数越小。