信号与系统基础一直是通信工程专业的核心课程。前面联系着电路、模拟电路与数字电路,后面联系着通信原理和数字信号处理。因此,信号与系统基础处于专业建设的核心课程地位。同时,信号与系统基础是有些高校考研的课程,学习的好坏将影响后面考研的成绩。因此,为提高这门课程的课堂教学效果,国内许多高校提出了各种教学改革方案^[1-2]。为了配合理论讲解,将MATLAB软件引入课堂是该课程教学改革的发展趋势^[3-7]。在教学中,为了提高学生的实践能力,还应该适当讲授信号理论的应用场景或背景来提高学生的学习兴趣^[7-10]。为此,基于案例教学方法被广泛应用,作为常规理论教学的辅助手段^[11]。

浙江科技学院通信工程专业信号与系统基础这门课程主要讲授的内容有:连续信号与系统基础、信号的时域分析,以及傅里叶级数、傅立叶变换、采样定理和模拟滤波器设计等。这门课程涉及的概念较抽象且数学推导相对较多,如果没有一些应用背景和案例会影响教学效果。然而,对某个知识点从应用背景引入、理论推导、应用场景实例到通信系统应用实例的全方位课堂教学设计并不多见。笔者长期从事信号与系统基础、数字信号处理、通信原理课程的主讲工作,在教学中发现,课程上如果讲解一些应用背景和案例会收到事半功倍的效果。本研究以卷积积分为案例进行了全方位课堂教学改革实践,以应用背景、理论推导、MATALB课堂实验、通信接收机原理来设计课堂教学,在实际教学中收了较好的效果。

通信工程专业在大二上学期开设信号与系统基础课程,学生在这个时候非常想知道专业发展前景。如果能够通过课程的专业应用背景讲解,让学生知道为什么学习这门课程,并且讲清前后课程直接的联系,学生就会有目的地去学习。基于此思想,笔者将课程中的重点基于通信工程专业背景设计成项目案例,利用MATLAB软件在课堂上进行演示实验,通过具体案例讲清信号与系统在通信技术中的应用。MATLAB软件简单易学,非常适合在课堂上进行案例教学。

信号与系统基础的难点和重点之一是卷积积分,卷积积分是时域分析的主要内容,对它的深刻理解关系到学生对后面频域分析和通信原理课程的接收机性能的理解。在讲卷积积分内容时学生经常会问,卷积积分在实际工作中有什么具体应用,如果单纯讲解卷积积分的计算,就会变成数学问题,学生会感到很枯燥,并不知道如何去应用它,从而影响学生学习的积极性。在课堂上如果用几句话说卷积积分如何重要,对学生没有说服力,但如果有一个具体例子,则可以起到抛砖引玉的作用。笔者经过尝试将与卷积积分有关的知识点进行课堂教学设计,包括应用背景、理论推导、例题讲解和课堂MATALB仿真案例设计组织教学,以课上演示实验的方法来配合理论内容的讲授,这样就使他们既掌握了卷积积分原理又知道如何应用卷积积分。通过长期的教学实践,笔者将信号与系统基础中的卷积积分讲授和MATALB实验设计结合起来,从理论到课堂实验的全方位教学设计,激发了学生学习的积极性和目的性,培养了学生的创新精神,提高了学生的实践应用能力。

信号与系统基础课程在大二上学期开设,学生非常渴望了解专业的发展前景和课程的关系。因此,在教学中能够结合专业发展及卷积积分在通信系统中的应用来讲授会增加学生的学习兴趣。根据笔者多年的教学经验,讲解卷积积分在通信系统中的应用后再讲解卷积积分,就可以提高学生的学习兴趣和目的性。图 1是通信系统模型。

图1 通信系统模型
Fig.1 Model of a communication system

以通信系统接收机为例,假设x(t)是接收机收到的信号,h(t)是接收机的单位脉冲响应,y(t)是接收机输出信号,实际上这就是一个典型的卷积积分的应用实例,图2是接收机的数学模型,假设接收机是线性移不变系统,则有卷积积分公式成立。如果对通信系统中的二进制通信系统进行接收处理,那么接收机的单位脉冲响应应该是矩阵脉冲,这样才能够正确判别系统发射的二进制信号,实现通信的目的。这种讲法的好处是让学生知道为什么学习卷积积分,增强了学习兴趣。

图2 接收机系统数学模型
Fig.2 Mathematical model of a receiver

数学上,两个连续时间信号x₁(t)和x₂(t)的卷积积分的定义^[12]为

y(t)=x₁(t)*x₂(t)=∫^+∞_-∞x₁(τ)x₂(t-τ)dτ。(1)

在信号与系统理论中,从时域分析连续信号通过线性移不变系统的输入输出信号关系的分析方法称为时域分析方法。经数学上处理,任意连续信号x(t)可以用单位冲激函数δ(t)表示为

x(t)=∫^+∞_-∞x(τ)δ(t-τ)dτ。(2)

在信号与系统基础课程中,输入信号为单位冲击信号δ(t),则系统的单位脉冲响应定义为h(t)=T[δ(t)]。教材中所指的系统通常具有线性和时不变性质^[13]。基于此条件,当任意连续时间信号x(t)输入线性移不变系统h(t)时,输出可以表示为

y(t)=T[x(t)]=T[∫^+∞_-∞x(τ)δ(t-τ)dτ]=∫^+∞_-∞x(τ)T[δ(t-τ)]dτ=∫^+∞_-∞x(τ)h(t-τ)dτ=x(t)*h(t)。(3)

式(3)中:符号T[·]表示系统的操作运算。在式(3)中,第2步利用了系统的叠加性,第3步利用了系统的线性,第4步利用系统的移不变性,根据卷积积分数学定义式(2)可知此积分正是卷积积分。因此,从时域分析角度,连续信号输入线性移不变系统时,输出信号等于输入信号和系统单位脉冲响应的卷积积分。这种讲法学生比较容易接受,在此基础上可以再给出实例进行卷积积分的计算。

两个方波信号的卷积积分在通信系统中有重要的应用,它可以用来解释二进制PAM通信系统的接收原理,因此,重点讲解两个方波信号的卷积原理。

图 3显示了信号x(t)和h(t)的波形,信号x(t)和h(t)的持续时间均为T,幅度均为1。由卷积积分公式可以得到x(t)和h(t)的卷积积分为

y(t)=∫^+∞_-∞x(τ)h(t-τ)dτ。(4)

图3 信号x(t)和h(t)波形示意图
Fig.3 Waveforms of signals x(t) and h(t)

利用图解法有助于对概念的理解,根据式(4),积分变量是τ,给定任意时刻t₁的卷积积分值可以表示为

y(t₁)=∫^+∞_-∞x(τ)h(t₁-τ)dτ。(5)

对于两个方波信号卷积积分的图解法,多数教材中都有详细的表述^[6-7],这里直接给出图解法的计算结果:

y(t)={0, t<0,

t, 0≤t≤T,

2T-t, T≤t≤2T,

0, t>2T。(6)

由式(6)可以看出,在t=T时,y(t)可以得到最大值T。

软件被广泛用在课程的教学过程中,由于MATLAB非常易学,因此将MATLAB引入信号与系统基础的课堂教学。在MATALB程序设计中假设T=20,MATLAB程序如下:

T=20;

s=0:T;

k=length(s);

x=ones(1,k);

h=ones(1,k);

y=conv(x,h);

tt=length(y);

subplot(2,2,1); plot(s,x);

title('x(t)');

subplot(2,2,2); plot(s,h);

title('h(t)');

subplot(2,1,2); plot(y);

title('y(t)');

从图4的仿真结果可以看出,两个方波信号卷积积分的结果是三角波形,这和前面的图解法计算结果一致。

图4 用conv进行卷积的结果
Fig.4 Convolution results using conv function

信号与系统基础是通信原理的先修课程,利用卷积积分可以解释二进制PAM系统的接收机原理,在这里从卷积积分的角度讲解可以提高学生的学习兴趣,使学生容易理解和接受,并解答他们的疑惑,即为什么学习卷积积分,有什么作用。例如在后续通信原理课程中涉及匹配滤波器和相关器概念,据笔者多年教学经验,可以由信号通过线性系统后的输入输出关系引出匹配滤波器概念。

由1和0组成的比特流可以用x₁(t)和x₂(t)两种波形来表示,其中比特1用x₁(t)表示,比特0用x₂(t)表示,即定义为

{x₁(t)=1, 0≤t≤T, 1,

x₂(t)=0, 0≤t≤T, 0。(7)

针对这个发射信号情况,信道为加性高斯白噪声(AWGN)时,接收信号r(t)可以表示为

r(t)={1+n(t), 1,

n(t), 0。(8)

最佳接收机可以采用匹配滤波器或相关器接收。在这阶段主要定性给学生解释,匹配滤波器是指和发射信号相匹配。如果发射信号为x₁(t),匹配滤波器的输出在T时刻可以得到最大的信噪比,即得到最大的输出信号幅度^[14]。当发射信号是脉冲信号x₁(t)时,接收机(可称为匹配滤波器)的时域单位冲激响应应设计为

h(t)=x₁(T-t)=1, 0≤t≤T。(9)

在这种情况下匹配滤波器的输出信号在T时刻可以得到最大的峰值,即得到最大的输出信噪比。前面两个矩形信号卷积的结果式(6)证明了这一点,即两个方波信号的卷积结果是三角波。因此,接收机设计成单位脉冲响应式(9)时,该滤波器h(t)称为信号x₁(t)的匹配滤波器。图5系统中采用了匹配滤波器作为接收机。

图5 二进制PAM通信系统框图
Fig.5 Block of a binary PAM system

当发射信号为x₁(t)时,匹配滤波器的输出为

y(t)=∫^t₀x₁(τ)h(T-(t-τ))dτ=∫^t₀x₁(τ)x₁(T-t+τ)dτ。(10)

如果在t=T时刻采样,则可得

y(T)=∫^T₀(1×1)dt=T。(11)

当发射信号为x₂(t)=0,0≤t≤T时,匹配滤波器输出为0。利用卷积积分可以得到图6的匹配滤波器输出波形。匹配滤波器后面接判决器,判决器的门限设为T/2,匹配滤波器后面的判决器每隔T时间间隔对y(t)采样,则可以正确判断出发射端发射的比特信息,即等采样值大于T/2时,发射端发射的是1信息,当采样值小于T/2时,发射端发射的是0信息。

图6 匹配器输出端信号波形
Fig.6 Waveform of the output signal of the matched filter

由上述卷积积分的计算可知:两个矩形波形信号的卷积结果是三角波形,在时间T采用可得到最大的信噪比或最大幅度。因此,最佳接收机设计成脉冲响应持续时间为T的矩形波形时,可以得到最好的接收机性能。此时接收机可以看成是矩形脉冲信号的匹配滤波器或相关器。在这阶段可以告诉学生,在T时刻匹配滤波器和相关器会得到相同的输出信号值,这在通信原理课程中会有详细的讲解。

通过上述分析可知,二进制PAM通信系统中,最佳接收机的单位脉冲响应是方波信号,而且学生也知道两个方波信号的卷积积分可以得到一个三角波。教师如果讲到这里继续讲授如何设计得到单位脉冲响应是矩形脉冲的系统结构,就会收到更好的教学效果。任何复杂的模拟系统都可以由加法器、乘法器、积分器和延迟器组成。实际上单位脉冲信号可以看成是由两个阶跃信号相减得到的,即单位脉冲响应h(t)=u(t)-u(t-T)。据此,当输入信号x(t)=δ(t)时,输出信号y(t)可以表示为

y(t)=∫^t_-∞(δ(t)-δ(t-T))dt=∫^t_-∞δ(t)dt-∫^t_-∞δ(t-T)dt=u(t)-u(t-T)。(12)

因此,图7所示最佳接收机系统,它的单位脉冲响应为h(t)=u(t)-u(t-T),是方波信号。图7可以看成是图5中的匹配滤波器的实现。

图7 最佳接收机系统框图
Fig.7 Block of the optimum receiver

以上基于案例的卷积积分的课堂教学改革,贯穿于整个信号与系统基础的课程教学中,通过采用该方法加深了学生对概念的理解和应用,并且对后续数字信号处理、通信原理课程的教学起到促进作用。更重要的是信号与系统基础课程是国内许多高校考研的专业考试课程。这种教学方法首先在通信工程2012级开始应用,2012级学生在考取研究生方面获得突破,一共考取10名,有考入北京邮电大学、上海大学、杭州电子科技大学等高校的; 2013级学生考取8名; 今年,2014级学生正积极准备考研。

本研究采用案例教学法,对卷积积分从应用背景引入、原理讲授、MATALB课堂实验到后续课程的接收机设计与实现进行全方位设计,通过这种方案使卷积积分的讲授更加生动,学生更容易接受、理解。通过案例讲解并利用MATALB在课堂上现场演示实验,提高了学生学习的兴趣,使学生知道为什么学习卷积积分,并感觉到该课程实际上并不难,从而对掌握卷积积分对学习后续课程如数字信号处理、通信原理等的重要性有更深刻的感性认识。这里,重要的是,通过这种案例教学有助于提高学生的综合应用知识能力和实践创新能力。