1975年Coifman等^[1]研究了双线性奇异积分的有界性,之后多线性算子的研究受到了极大的关注,参见文献[2-7]。其中文献[4]研究了多线性极大算子的加权不等式,文献[5]研究了多线性分数次算子的交换子的加权估计。这不仅是因为线性算子理论推广的需要,更是多线性算子理论本身发展和应用的需要。近年来,Orlicz空间理论也受到许多研究者的关注,如Zhao等^[8-11]研究了Baskakov-Kantorovich算子、Lupas-Baskakov型算子等在Orlicz空间内的逼近。本文主要研究多线性分数次极大算子M^(m)_α在Orlicz空间上的有界性。

定义1^[12] 称函数φ:[0,+∞)-→[0,+∞]是Young函数,如果

1)φ(0)=0;

2)存在00<∞使得φ(x₀)<∞;

3)φ单调递增且lim_x→∞φ(x)=∞;

4)φ是凸函数。

这样定义的函数φ有以下一些简单结论:

1)允许φ取到+∞;

2)不要求φ是严格凸函数或是严格单调递增函数; 但是,当φ在有限点x₀处取到+∞时,φ(x)必须在x充分大时严格单调递增;

3)φ(∞)=∞;

4)要么φ在[0,+∞)是连续的,要么存在0

定义2^[12] 给定一个Young函数φ,定义Orlicz空间L^φ为存在某个λ>0满足∫φ((|f|)/λ)dμ<∞的所有可测函数f的集合。在L^φ上定义Orlicz范数为

‖f‖_φ=inf{λ>0:∫φ((|f|)/λ)dμ≤1}。

容易看出,当φ(x)=x^p(1≤p<∞) 时,L^φ=L^p。

Orlicz范数有以下一些简单特征和结论。

1)Orlicz范数是一个范数。它满足正齐次性,‖αf‖_φ=|α|‖f‖_φ; 满足正定性,‖f‖_φ=0当且仅当f=0; 满足次可加性,若‖f₁‖_φ=λ₁,‖f₂‖_φ=λ₂,则有‖f₁+f₂‖_φ≤λ₁+λ₂。

2)若φ₁和φ₂是两个Young函数,且φ₁≤φ₂,则有‖f‖_φ1≤‖f‖_φ2。因此,若存在正常数a,b使得φ₁(ax)≤φ₂(x)≤φ₁(bx)对所有的x成立,则L^φ₁=L^φ₂。

3)若φ₁和φ₂是两个Young函数,则φ ≡φ₁+φ₂是一个Young函数,且L^φ=L^φ₁∩L^φ₂。

令(X₁,v₁)和(X₂,v₂)为正可测空间,算子T定义在X₁上的v₁可测函数集的一些线性子空间,值域包含在X₂上的v₂可测函数集里,若存在常数c≥1使得

|T(f+g)(x)|≤c(|Tf(x)|+|Tg(x)|)且|T(λf)(x)|=|λ||Tf(x)|

对所有算子T定义域里的f和g,对所有的λ∈R成立,则称算子T是线性算子^[13]。

令A和B为Young函数,T为定义在L^A(X₁,v₁)上的单线性算子,则

1)若存在正常数k使得

‖Tf‖_L^B(X2,v2)≤k‖f‖_L^A(X1,v1)

对所有的f∈L^A(X₁,v₁)成立,则算子T称为强(A,B)型的;

2)若存在正常数k使得

v₂({y∈X₂:|Tf(y)|>t})≤1/(B(t/(k‖f‖_L^A(X1,v1))))

对所有的t>0和所有的f∈L^A(X₁,v₁)成立,则算子T称为弱(A,B)型的。

我们可以将其推广到双线性算子,甚至是多线性算子。

令A₁,A₂和B为Young函数,T为定义在L^A₁(X₁,v₁)*L^A₂(X₁,v₁)上的双线性算子,则

1)若存在正常数k使得

‖T(f₁,f₂)‖_L^B(X2,v2)≤k‖f₁‖_L^A1(X1,v1)‖f₂‖_L^A2(X1,v1)

对所有的f₁∈L^A₁(X₁,v₁),f₂∈L^A₂(X₁,v₁)成立,则称算子T为强(A₁; A₂,B)型的;

2)若存在正常数k使得

v₂({y∈X₂:|T(f₁,f₂)(y)|>t})≤1/(B(t/(k‖f₁‖_L^A1(X1,v1)‖f₂‖_L^A2(X1,v1))))

对所有的t>0和f₁∈L^A₁(X₁,v₁),f₂∈L^A₂(X₁,v₁)成立,则称算子T为弱(A₁; A₂,B)型的。

定义3^[14] 令n和m分别为满足n≥2,m≥1的非负整数,且0<α(m)_α定义为

M^(m)_α(f ^→)(x)=sup_r>01/(r^mn-α)∫_{|y ^→|∏^mi=1|fi(x-yi)|dy ^→,}

其中y ^→=(y₁,y₂,…,y_m)且x,y₁,y₂,…,y_m∈Rⁿ,dy ^→=dy₁dy₂…dy_m,f ^→=(f₁,f₂,…,f_m)。

特殊地,若m=1,则M^(m)_α就是经典的分数次极大算子M_α。下面我们主要讨论m=2的情形。

文献[13]分别给出了分数次极大算子M_α以及分数次积分算子I_α在Orlicz空间里的弱有界性估计和强有界性估计。这里引用了其中的分数次极大算子M_α的弱有界性估计。

引理1^[13] 令n≥1,且0≤α

|{M_αf(x)>λ}|≤1/(B(λ/(k‖f‖_A)))

成立,当且仅当存在常数c满足

A^-1(t)≤ct^α/nB^-1(t)。

引理2 若算子G_i为(p_i,q_i)型,即

‖G_if‖_L^qi,∞≤c‖f‖_L^pi,

则

∏_i=1G_i(f_i)(x)∈L^q,∞,

其中1/q=∑_i=11/(q_i),且

||∏_i=1G_i(f_i)||_L^q,∞≤(1/λ∏_i=1‖f_i‖_pi)^q。

证明:不妨证i=2的情况。Aβ>0,有

|{G₁(f₁)(x)·G₂(f₂)(x)>λ}|≤|{G₁(f₁)(x)>β}|+|{G₂(f₂)(x)>λ/β}|≤

((c₁)/β‖f₁‖_p1)^q₁+((c₂β)/λ‖f₂‖_p2)^q₂。

令((c₁)/β‖f₁‖_p1)^q₁=((c₂β)/λ‖f₂‖_p2)^q₂,求得

引理2 证毕。

这是当算子G_i为(p_i,q_i)型时成立,则当算子G_i为弱(p_i,q_i)型时也成立,故引出了下面的命题1以及定理1。

命题1 设

M_α ^-（f ^→）(x)=∏^m_i=1M_αi(f_i)(x),

其中α=∑^m_i=1α_i,α_i>0。那么存在k₀>0,对任意的t>0,使得

|{M_α ^-（f ^→）(x)>t}|≤1/(B(t/(mk₀∏^m_i=1‖f_i‖_Ai)))

成立,即M_α^-是L^A₁*…*L^A_m到L^B,∞有界的,当存在k ^～使得

∏^m_i=1B^-1_i(r)≤k ^～B^-1(r),

对任意的r>0成立。

由于

M_α（f ^→）(x)=sup_r>01/(|B_r|^1-α/(mn))∫_Br∏^m_i=1|f_i(x-y_i)|dy_i,

故M_α（f ^→）(x)≤c_m,n,αM_α^-（f ^→）(x),上述结果对M_α也成立。

定理1 设A_i(i=1,…,m),B是Young函数,0≤α1使得

|{x|M_α（f ^→）(x)>λ}|≤1/(B(λ/(c₁∏^m_i=1‖f_i‖_Ai)))

成立,当且仅当存在常数c₂满足

∏^m_i=1A^-1_i(r)≤c₂r^α/nB^-1(r),r>0。

命题1的证明:

|{M_α^-（f ^→）(x)>λ}|=|{∏^m_i=1M_αi(f_i)(x)>λ}|≤

∑^m-1_i=1|{M_αi(f_i)>μ_i}|+|{M_αm(f_m)>(λ/(∏^m-1_i=1μ_i))}|≤

∑^m-1_i=11/(B_i((μ_i)/(K_iγ_i)))+1/(B_m(λ/(K_mγ_m∏^m-1_i=1μ_i)))。

其中γ_i=‖f_i‖_Ai。令μ_i=B^-1_i(B(λ/(K₀γ)))K_iγ_i,γ=∏^m_i=1γ_i,则一方面

B_i((μ_i)/(K_iγ_i))=B_i(B^-1_i(B(λ/(K₀γ))))=B(λ/(K₀γ)),i=1,2,…,m。

另一方面,

B_m(λ/(K_mγ_m∏^m-1_i=1μ_i))=B_m(λ/(K_mγ_m∏^m-1_i=1B^-1_i(B(λ/(K₀γ)))K_iγ_i))=

B_m(λ/(Kγ∏^m-1_i=1B^-1_i(B(λ/(K₀γ)))))=B_m((K₀t)/(K∏^m-1_i=1B^-1_i(B(t))))。

其中t=λ/(K₀γ)。取K₀=k ^～K,则

B_m(λ/(K_mγ_m∏^m-1_i=1μ_i))=B_m((k ^～t)/(∏^m-1_i=1B^-1_i(B(t))))。

由于∏^m_i=1B^-1_i(r)≤k ^～B^-1(r),因此有

B^-1_m(B(t))≤(k ^～t)/(∏^m-1_i=1B^-1_i(B(t))),

B(t)≤B_m((k ^～t)/(∏^m-1_i=1B^-1_i(B(t)))),

故

B_m(λ/(K_mγ_m∏^m-1_i=1μ_i))≥B(λ/(K₀γ))。

从而

|{M_α^-（f ^→）(x)>λ}|≤(m-1)/(B(λ/(K₀γ)))+1/(B(λ/(K₀γ)))=m/(B(λ/(K₀γ)))=1/(B(λ/(mK₀γ)))。

命题1得证。

定理1的证明:充分性的证明同命题1的证明。下证必要性。

固定半径为r₀的球B₀Rⁿ,取f_0i=A^-1_i(1/(|B₀|))χ_(B0),i=1,2,…,m。则对x∈B₀,

M_α（f₀ ^→）(x)=sup_r>01/(|B_r|^1-α/(mn))∫_Br∏^m_i=1|f_0i(x-y_i)|dy_i≥

sup_r>01/(|B_r|^1-α/(mn))∫_{∑^mi=1(zi-x)²2}∏^m_i=1|f_0i(z_i)|dz_i≥

sup_r>01/(|B_r|^1-α/(mn))∏^m_i=1∫_|zi-x|1/2)|f_0i(z_i)|dz_i≥

(c_m,n,α)/(|B₀|^m-α/n)|B₀|^m∏^m_i=1A^-1_i(1/(|B₀|))。

其中r=2r₀m^1/2。令|B₀|=1/t,则z_i≥

(c_m,n,α)/(|B₀|^m-α/n)|B₀|^m∏^m_i=1A^-1_i(1/(|B₀|))。

/t≤|{M_α（f₀ ^→）(x)>c_m,n,αt^-α/n∏^m_i=1A^-1_i(t)}|≤1/(B((c_m,n,αt^-α/n∏^m_i=1A^-1_i(t))/(cγ))),

其中γ=∏^m_i=1‖f_0i‖_Ai≤1,所以

1/t≤1/(B((c_m,n,αt^-α/n∏^m_i=1A^-1_i(t))/c)),

即

B((c_m,n,αt^-α/n∏^m_i=1A^-1_i(t))/c)≤t,

c_m,n,αt^-α/n∏^m_i=1A^-1_i(t)≤cB^-1(t)。

定理1证毕。

本文给出了多线性分数次极大算子在Orlicz空间的弱有界性,在今后的研究中可探究多线性分数次极大算子在Orlicz空间的强有界性以及其他多线性算子的有界性。