判决辅助最大似然(DA-ML)和软判决辅助最大似然(SDA-ML)载波相位估计器均假定静态分块载波相位,因此在高信噪比下会出现误差下限。通过引入多元高斯分布模型,提出广义SDA-ML相位估计算法,并通过分解信道协方差矩阵来降低计算复杂度。仿真试验结果表明,对于高阶QAM调制,广义SDA-ML可以显著降低DA-ML和传统SDA-ML的误差下限。
Both decision-aided maximum likelihood(DA-ML)and soft DA-ML(SDA-ML)carrier phase estimators assume block-wise static carrier phase, therefore an error floor tends to arise at high signal-to-noise ratio(SNR). A generalized SDA-ML phase estimation was proposed by introducing a multi-dimensional Gaussian distribution model, with the computational complexity being reduced by decomposing the channel covariance matrix. Simulation results show that the generalized SDA-ML can significantly reduce the error floor of DA-ML and the conventional SDA-ML, for high-order quadrature amplitude modulation(QAM).
互联网和多媒体业务的发展使数据通信业务的需求快速增长,光纤通信中传统的强度调制/直接检测系统已不能满足人们对数据通信量的需求,相干光通信技术应运而生。随着高速模数转换技术和数字信号处理(digital signal processing, DSP)技术的发展,相干光通信不仅能提供更高的数据传输速率,而且可以利用DSP技术补偿光纤通信中的各种损伤。因此,相干光通信技术已成为最具发展潜力的光纤通信技术之一。近年来,如M进制正交幅度调制(multiple quadrature amplitude modulation,MQAM)等高阶的调制方式,因其频谱效率高,在相干光通信中得到了广泛的应用。但这种调制需要在相干检测之前进行准确的载波相位估计[1-2]。锁相环(phase locked loop,PLL) [3-4]是一种候选方案。然而,由于激光线宽增加和环路延迟,PLL在应用中受到了限制。早期研究人员将传统的M次幂载波相位估计算法[5-7]用于相干光M进制相移键控(multiple phase shift keying,MPSK),并结合差分编码,解决了相位模糊的问题,但这种方法使得差错加倍。此外,M次幂算法不适用于具有不等符号能量的调制方式。针对这两个问题,人们提出了可用于任意星座图的判决辅助最大似然(decision-aided maximum likelihood,DA-ML)相位估计算法[8-11],DA-ML算法依赖于已接收信号的正确性,故该算法不适用于低信噪比情况。为了解决这一问题,软判决辅助最大似然(soft decision-aided maximum likelihood,SDA-ML)算法[12-15]使用发送信号的先验概率来代替接收信号的判决。DA-ML算法和SDA-ML算法性能优于M次幂算法,然而这两种算法是在逐块静态相位设下推导出的,受到块长度效应(block length effect,BLE)的较大影响,需要通过大量仿真来寻找最优的估计块长度。对此,本文引入多元高斯分布,针对线性激光相位噪声提出了广义SDA-ML相位估计算法,从而降低了对激光器线宽的要求。
1 系统模型假设接收机实现理想定时同步、色散和偏振模型色散补偿、载波频率估计。在这种情况下接收信号,仅受到由发射机和本地振荡器(local oscillator,LO)引起的激光相位噪声及高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise,AWGN)的影响[1]118。对于特定的符号周期Ts,第k个符号区间[kTs,(k+1)Ts]上接收到的采样信号模型r(k)由文献[1]119-[2]78171给出:
r(k)=s(k)ejθ(k)+n(k)。(1)
式(1)中:发送的数据s(k)从信号集{Ci=A(i)ejφ(i),i=0,1,2,…,M-1}中以特定的概率获得,其中,A(i)和φ(i)分别为幅度与相位调制,M为调制阶数。定义Es为每个发送信号的平均能量,即Es=E[|s(k)|2]。对MPSK,有
n(k)是一个均值为零且方差为N0的复高斯随机变量,其中N0是高斯白噪声的双边功率谱密度。
本文采用与文献[12]3444相同的传输帧结构和滑动估计窗口,如图1所示。每帧插入Np个导频符号和Nm个连续数据符号,因此每比特信息的有效信噪比被定义为:
γb=(E[|s(k)|2](1+Np/Nm))/(N0log2M)。
载波相位θ(k)通常用维纳过程来建模:
θ(k)=θ(k-1)+ν(k)。(2)
式(2)中:{ν(k)}k为独立同分布(i.i.d)且均值为0的高斯随机变量[6],方差为
σ2p=2πΔνTs。(3)
式(3)中:Δν为发射机和LO激光器的3 dB线宽。通常认为相位噪声增量序列{ν(k)}k和高斯白噪声序列{n(k)}k是相互独立的。
2 广义SDA-ML估计算法假设一个以时刻k为中心、长度为2L+1的对称估计窗口(图1)。这串信号可由以下数学模型表示:
r(k-l)=s(k-l)exp(j[θ(k)-∑km=k-l+1ν(m)])+n(k-l)。(4)
假设随机变量ν(m)的绝对值远小于1,考虑数学上的近似ex≈1+x,则式(4)可以简化为:
r(k-l)≈s(k-l)ejθ(k)(1-j∑km=k-l+1ν(m))+n(k-l)。
关于时间k处的相位估计通过最大化其似然函数Λ(k)得到。在接收估计窗r=[r(k-L),…,r(k+L)]T(r是长度为2L+1采样信号向量)内,该似然函数Λ(k)被定义为以载波相位为条件的接收估计窗信号的联合概率密度函数,即:
θ(k)=argmaxθ(k)Λ(k)=argmaxθ(k)p(r|θ(k))。(5)
利用全概率公式,通过对发送信号s(l)的所有可能情况求和,得到条件概率密度函数p(r|θ(k)),即:
p(r|θ(k))=∑M-1i1=0∑M-1i2=0…∑M-1i2L+1=0[(∏i2L+1n=i1Pn)p(r|θ(k),s)]=
1/(π2L+1detK)∑M-1i1=0∑M-1i2=0…∑M-1i2L+1=0{(∏i2L+1n=i1Pn)exp[-(r-sejθ(k))HK-1(r-sejθ(k))]}。(6)
式(6)中:s表示发送信号向量[s(k-L),…,s(k+L)]T的所有可能假设; Pn为s(n)取值Ci的先验概率; K为(2L+1)*(2L+1)的协方差矩阵,其(n,m)元定义为
K(n,m)=E〖JB<2{〗[r(k-L-1+n)-E(r(k-L-1+n))]
[r(k-L-1+m)-E(r(k-L-1+m))]*〖JB>2}〗。(7)
式(7)可以表示为:
K(n,m)={s(k-L+n-1)s*(k-L+m-1)min(L-n+1,L-m+1)σ2p+δ(n-m)N0(n,m≤L),
s(k+n-L-1)s*(k+m-L-1)min(n-L-1,m-L-1)σ2p+δ(n-m)N0(n,m≥L+1),
0 其他 。(8)
为了简化似然函数Λ(k),将接收估计窗分块为r1、r(k)和rr三部分。r1是r的左半部分,即r1=[r(k-L),…,r(k-1)]T,rr是r的右半部分,即rr=[r(k+1),…,r(k+L)]T,则r=[r1,r(k),rr]T。从协方差矩阵K的形式可以看出,在θ(k)已知的条件下,r1、r(k)和rr是相互独立的。因此式(5)就可改写为:
θ(k)=argmaxθ(k)Λ(k)=argmaxθ(k)p(r1|θ(k))p(r(k)|θ(k))p(rr|θ(k))。(9)
由于似然函数的最大似然估计也可以从对数似然方程求得,式(9)可进一步表示为:
θ(k)=argmaxθ(k)[lnp(r1|θ(k))+lnp(r(k)|θ(k))+lnp(rr|θ(k))]。
通过与式(6)相同的方式,得到条件概率密度函数p(r1|θ(k)),即:
p(r1|θ(k))=∑M-1i1=0∑M-1i2=0…∑M-1iL=0[(∏iLn=i1Pn)p(r1|θ(k),s1)]=
1/(πLdetK1)∑M-1i1=0∑M-1i2=0…∑M-1iL=0{(∏iLn=i1Pn)exp[-(r1-s1ejθ(k))HK-11(r1-s1ejθ(k))]}。(10)
式(10)中:s1表示发送信号向量[s(k-L),…,s(k-1)]T的所有可能假设,Pn为s(l)取值Ci的先验概率,K1为r1的L*L协方差矩阵,即:
K1(n,m)=s(k-L+n-1)s*(k-L+m-1)min(L-n+1,L-m+1)σ2p+δ(n-m)N0。
由于s(l)在估计窗[k-L,…,k-1]内未知,且协方差矩阵K1是随估计窗移动而改变的,为了便于计算,用s(l)的平均能量代替s(l),即
因此,协方差矩阵K1可以用协方差矩阵的平均值K—1近似为:
K1(n,m)≈K—1(n,m)=Esmin(L-n+1,L-m+1)σ2p+δ(n-m)N0。
类似地,p(rr|θ(k))和p(r(k)|θ(k))可表示为:
p(rr|θ(k))=1/(πLdetKr)∑M-1i1=0∑M-1i2=0…∑M-1iL=0{(∏iLn=i1Pn)exp[-(rr-srejθ(k))HK-1r(rr-srejθ(k))]},
p(r(k)|θ(k))=∑M-1i=0(Pi)/(πN0)exp(-(|r(k)-Ciejθ(k)|2)/(N0))。(11)
式(11)中:sr表示发送信号向量[s(k+1),…,s(k+L)]T的所有可能假设,Kr为rr的协方差矩阵,即:
Kr(n,m)=s(k+n)s*(k+m)min(n,m)σ2p+δ(n-m)N0。
协方差矩阵Kr同样可以用协方差矩阵的平均值K—r近似为:
Kr(n,m)≈K—r(n,m)=Esmin(n,m)σ2p+δ(n-m)N0。
近似地用K—1和K—r代替p(r1|θ(k))和p(rr|θ(k))中的协方差矩阵K1和Kr,由最大化标准导出Λ(k)/θ(k)=0。通过求解该方程,给出广义SDA-ML算法:
θ(k)≈arg(T1+Tr+Tk)。(12)
式(12)中:
T1=(∑M-1i1=0…∑M-1iL=0[sH1K—-11r1A(s1,θ(k))])/(∑M-1i1=0…∑M-1iL=0[A(s1,θ(k))]),(13)
Tr=(∑M-1i1=0…∑M-1iL=0[sHrK—-1rrrB(sr,θ(k))])/(∑M-1i1=0…∑M-1iL=0[B(sr,θ(k))]),(14)
Tk=(∑M-1i=0PiC*iN-10r(k)exp((2R[r*(k)Ciejθ(k)]-|Ci|2)/(N0)))/(∑M-1i=0Piexp((2R[r*(k)Ciejθ(k)]-|Ci|2)/(N0)))。
式(13)~(14)中:
A(s1,θ(k))=(∏iLn=i1Pn)exp[2R(rH1K—-11s1ejθ(k))-sH1K—-11s1],(15)
B(sr,θ(k))=(∏iLn=i1Pn)exp[2R(rHrK—-1rsrejθ(k))-sHrK—-1rsr]。(16)
式(15)~(16)中:K—-11和K—-1r均为常数矩阵,故在同一信噪比下仅需计算一次。
式(12)的左式和右式均包含未知量 θ(k),难以求解,因此,我们采用与文献[12]3447中类似的迭代算法来计算 θ(k),该迭代算法使用估计窗口[k-L,k+L]来对当前第k处的相位 θ(k)进行估计。如图2所示,迭代m次后得到相位估计值 θm(k),将其代入式(17)计算出 θm+1(k)。由于在第m次迭代中得到的相位估计 θm(k)会反馈到估计器中,故能在第m+1次迭代中获得更精确的相位估计 θm+1(k)。随着迭代算法的进行,相位估计将最终收敛并满足式(17)。为了降低计算复杂度,当新的归一化相位ejθm+1(k)与以前的归一化相位ejθm(k)相差小于阈值εθ时终止迭代,即:
|ejθm+1(k)-ejθm(k)|<εθ。
显然,估计阈值εθ是计算复杂度与相位估计精度的妥协。
数据检测器只需要e-jθf(k)的值,不需要显式地估计相位θ(k)。整个广义SDA-ML接收机结构如图2所示,包括迭代相位估计器和数据检测器。因此,可以使用迭代相位估计器和数据检测器来构造广义SDA-ML接收机。
表1为DA-ML,SDA-ML和广义SDA-ML的计算复杂度比较。DA-ML的计算复杂度主要取决于r(l)s*(l)项。为了得到相位估计值θ(k),在长度为2L+1的估计窗内这一项共计算2L+1次。SDA-ML的主导项为P(s(l)=Ci|r(l),θ)r(l)C*i,定义Nitr为平均迭代次数,则SDA-ML计算复杂度为(2L+1)MNitr[12]3448。对于广义SDA-ML,式(20)中Tk的计算复杂度远小于T1和Tr,且T1和Tr计算复杂度相同,故广义SDA-ML的计算复杂度可以近似看作T1的2倍。对于T1,其主导项为sH1K—-11r1A(s1,θm(k))或A(s1,θm(k)),计算复杂度为2MLNitr,所以广义SDA-ML主导项为sH1K—-11r1A(s1,θm(k))或A(s1,θm(k)),计算复杂度为4MLNitr。仿真显示Nitr的平均值接近于1,详见第3章。显然,广义SDA-ML的性能改进是以算法计算复杂度提高作为代价的。
3 仿真试验结果
由于广义SDA-ML相位估计算法在推导的过程中考虑了线性相位噪声的维纳过程对相位估计结果的影响,因此,它适用于较高线性相位噪声的情况。通过在MATLAB上的蒙特卡洛仿真试验,可将广义SDA-ML相位估计算法与DA-ML相位估计算法和传统的SDA-ML相位估计算法进行比较,比较误比特率(bit error probability,BEP)性能。调制方式包括二进制相移键控(Binary PSK,BPSK),正交相移键控(Quadrature PSK,QPSK),(1,3)-QAM和8QAM。在仿真试验中,由于DA-ML估计窗只有当前符号
的左半部分,为了公平地比较各算法性能,故将DA-ML估计窗的长度调整至与SDA-ML和广义SDA-ML相同,即DA-ML估计窗长度为2L+1。
表2列出了信噪比γb为0 dB、εθ=0.1时,QPSK调制下的SDA-ML和广义SDA-ML迭代次数的百分比分布。SDA-ML和广义SDA-ML的平均迭代次数接近,超过98%的迭代过程只需1次迭代就收敛于式(17)。
图3为BPSK下3种相位估计算法的BEP性能比较,参数为Np=11,Nm=200,σ2p=0.02 rad2,εθ=0.1,L=5。在低信噪比情况下,广义SDA-ML和传统SDA-ML的BEP性能下均优于DA-ML约0.2 dB。这是由于广义SDA-ML和传统SDA-ML都使用了当前和以后符号[k,k+L]的软判决辅助。在高信噪比情况下,广义SDA-ML的BEP性能大大优于DA-ML算法,且广义SDA-ML比传统的SDA-ML性能提升了1 dB左右。这是由于在高信噪比时,AWGN对系统性能影响较小,线性相位噪声成为该系统中主要的干扰因素。因此,广义SDA-ML算法在高信噪比情况下对性能的影响更为显著。
图3 BPSK下3种相位估计算法的BEP性能比较
Fig.3 BEP performance comparison of BPSK with three phase estimation algorithms
为了更好地体现广义SDA-ML的BEP性能,将该算法用于(1,3)-QAM调制[12]3451和8QAM调制[16],这两种调制方式的星座如图4所示。
图5给出了(1,3)-QAM下3种相位估计算法的BEP性能,参数为Np=11,Nm=200,εθ=0.1,L=5。对于σ2p=0.01 rad2的情况,在低信噪比情况下,广义SDA-ML和SDA-ML的BEP性能都优于DA-ML约0.3 dB。随着信噪比升高到10 dB以上,DA-ML和SDA-ML性能提升幅度较小,并且两种算法的性能趋于同一误差下限,广义SDA-ML与其他算法的性能差距更为显著。当σ2p的值提高到0.02 rad2时,整个系统的BEP明显增加,DA-ML与SDA-ML更早地达到误差下限,与其他两种算法相比,广义SDA-ML的误差下限明显降低。在高信噪比情况下,线性相位噪声在系统干扰中占主导地位,而DA-ML和SDA-ML是在假定估计窗内相位噪声不变的情况下推导出,所以这两种算法的误差下限要高于广义SDA-ML。图6给出了8QAM下3种相位估计算法的BEP性能,参数同样为Np=11,Nm=200,σ2p=0.01 rad2,εθ=0.1,L=5。从图6可知,8QAM对相位噪声更敏感,DA-ML算法已经不适用于高线性相位噪声情况下的高阶调制。由于DA-ML依赖于接收信号的正确性,因此在强线性相位噪声的情况下,DA-ML很难作出正确的相位估计。SDA-ML和广义SDA-ML的性能明显优于DA-ML。与(1,3)-QAM的情况相似,在高信噪比情况下,与SDA-ML相比,广义SDA-ML依然有着更好的BEP性能表现,且能有效地降低误差下限。
图5 (1,3)-QAM下3种相位估计算法的BEP性能比较
Fig.5 BEP performance comparison of(1,3)-QAM with three phase estimation algorithms
图6 8QAM下3种相位估计算法的BEP性能比较
Fig.6 BEP performance comparison of 8QAM with three phase estimation algorithms
4 结 语
传统的SDA-ML载波相位估计算法考虑了软判决,具有星座无关性和低延时的特点,在此基础上本研究引入多元高斯分布模型,导出了广义SDA-ML载波相位估计算法。仿真试验结果表明,广义SDA-ML算法对相位噪声具有较强的鲁棒性。广义SDA-ML算法可以有效地降低由线性相位噪声带来的误差下限,因此,我们提出的方法具有更准确的相位估计性能。
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