一类H-Toeplitz算子的复对称性 [PDF全文]
(1.浙江师范大学 数学与计算机科学学院,浙江 金华 321004; 2.杭州师范大学 数学学院,杭州 311121)

为研究Bergman空间上一类H-Toeplitz算子关于给定的某类复共轭的复对称性,提出选用特殊符号的算子来研究。由于H-Toeplitz算子与Toeplitz算子及Hankel算子之间存在紧密联系,因此,首先,借鉴经典Hardy空间上Toeplitz算子中已有的关于某些复共轭的复对称结果,找出具体的复共轭; 其次,由于完全刻画一些具体算子的复对称性极其困难,故通过考察调和函数符号或非调和函数符号的H-Toeplitz算子,来研究该算子关于给定的复共轭的复对称性; 最后,根据算子复共轭定义中的等距关系,得到一个有关算子符号的等式,并对此等式进行计算以找出规律。结果 表明,当符号为调和函数符号或由拟齐次函数的和组成的非调和函数符号时,对应的H-Toeplitz算子关于给定的复共轭为复对称当且仅当该符号为零。

Complex symmetry for a class of H-Toeplitz operator
CHEN Yong1,2, LAI Liling1, LIANG Jinjin1
(1.College of Mathematics and Computer Science, Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, Zhejiang, China; 2.College of Mathematics, Hangzhou Normal University, Hangzhou 311121, Zhejiang, China)

In order to study the complex symmetry for a class of H-Toeplitz operator on Bergman space with regard to a given class of conjugation, a special coincidence operator was proposed. Given the fact that H-Toeplitz operator is closely related to Toeplitz operator and Hankel operator, firstly, the specific conjugation was found according to the existing complex symmetry results of Toeplitz operator on classical Hardy space. Secondly, given the great difficulty to completely characterize the complex symmetry of some specific operators, the H-Toeplitz operator with harmonic or non-harmonic symbols was investigated to study the complex symmetry of the operator with respect to the specific conjugation. Finally, according to the isometry relation defined in the conjugation, a correlation equation about operator symbol was obtained, from which arose some rules through calculation. The results show that the H-Toeplitz operator with harmonic symbol or non-harmonic symbol consisting of the sum of quasihomogeneous functions is complex symmetric with respect to the given conjugation if and only if the symbol is zero.

引言

Garcia和Putinar在2005年开始研究算子的复对称[1],在他们之后的学者取得了大量的关于抽象复对称算子的结构理论和具体算子的复对称性研究成果。由于完全刻画一些具体算子的复对称性极其困难,故通过找出具体的复共轭C,再刻画算子关于此C为复对称的研究方法。经典Hardy空间上的Toeplitz算子Tφ为Cλ-对称当且仅当φ(λz)=φ(z^-)[2]。之后Li等[3]研究了Tφ的Cα-对称性,若Tφ为Cα-对称,则α是一个自然几何对序列。Bu等[4]证明了Hardy空间上Toeplitz算子Tφ关于某Cα复对称当且仅当其关于某Cλ复对称。对Bergman空间上Toeplitz算子复对称性的研究比Hardy空间更困难[5-6],而对H-Toeplitz算子的研究是近年来才开展的。Gupta等[7]研究了Bergman空间上的H-Toeplitz算子的一些代数性质,但目前尚留有很多相关问题亟待深入研究。因此本研究探讨Bergman空间上一类H-Toeplitz算子关于给定复共轭Cα的复对称性。

1 预备知识1.1 研究背景

记D为复平面C内的单位开圆盘,dA(z)=1/(π)rdrdθ为D上规范化的Lebesgue面积测度。记L2(D,dA)为D上所有勒贝格平方可积函数所构成的Hilbert空间,其内积定义为

记H(D)为D上所有解析函数的空间,Bergman空间L2a(D)=L2(D,dA)∩H(D)是空间L2(D,dA)的闭子空间。对于非负整数n,令

集合{en}n≥0构成L2a(D)的一组标准正交基。Bergman空间为再生核解析函数空间,其再生核为Kz(w)=1/((1-z^-w)2),z,w∈D。记P:L2(D,dA)→L2a(D)为空间L2(D,dA)到Bergman空间L2a(D)上的正交投影。对于f∈L2(D,dA),由再生核性质有

对于φ∈L(D),乘法算子Mφ定义为Mφ(f)=φf。符号为φ∈L(D)的Toeplitz算子[8-9]Tφ:L2a(D)→L2a(D)和Hankel算子Hφ:L2a(D)→L2a(D)分别定义为

Tφ=PMφ,Hφ=PMφJ,

其中算子

易见Tφ和Hφ都是Bergman空间L2a(D)上的有界线性算子[10-12]

定义Bergman空间L2a(D)上的H-Toeplitz算子。记L2h(D)为L2(D,dA)中所有调和函数构成的闭子空间。首先考虑由以下两式定义的线性算子K:L2a(D)→L2h(D),

算子K在L2a(D)上是有界的,||K||=1且K的共轭算子K*:L2h(D)→L2a(D)由以下二式给出:

对于φ∈L(D),Bergman空间上的H-Toeplitz算子Bφ:L2a(D)→L2a(D)定义为

Bφ=PMφK。

由定义可以看出,H-Toeplitz算子与Toeplitz算子和Hankel算子紧密联系。事实上,对于每个非负整数n,有

Bφ(e2n)=PMφK(e2n)=PMφ(en)=Tφ(en) (2)

Bφ(e2n+1)=PMφK(e2n+1)=PMφJ(en)=Hφ(en) (3)

令H表示复可分Hilbert空间,B(H)表示由H上所有有界线性算子组成的代数。共轭线性映射C:H→H称为复共轭,若其满足:

1)〈Cf,Cg〉=〈g,f〉,f,g∈H;

2)C2=I,即C是对合。

若T∈B(H)满足CTC=T*,则称T关于复共轭C是复对称的,或T是C-对称的,简称T是复对称的。复对称算子类有大量的例子,包括所有的正规算子、有限Toeplitz矩阵、截断Toeplitz算子、调和Bergman空间上的Toeplitz算子和Volterra积分算子等。

令α=(α012…),其中每个|αn|=1,n=0,1,2…。定义复共轭Cα

Cαennen,n=0,1,2…。

特别地,当αn=λ^-n,其中常数|λ|=1,此时的Cα记为Cλ,即

对于函数φ∈L2(D,dA),如果满足φ(z)=φ(|z|),z∈D,那么φ称为径向函数。对于整数p,若φ(re)=eip θφ(r),其中φ是一个径向函数,则函数φ称为p次拟齐次的。对于一般的函数φ∈L2(D,dA),有下面的拟齐次函数分解:

其中每个φk为径向函数,

特别地,当每个φk(r)=akr|k|时,

为调和函数,即φ∈L2h(D)[13-14]

1.2 引 理

引理1 对于非负整数s和t,有以下公式成立:

对于调和符号的H-Toeplitz算子,有以下结论。

引理2 令

则对非负整数m和n,

证明:首先有

由引理1,当m≥n时有

而当m<n时有

对于Hankel算子,类似有

由此及前面的证明,结合式(2)~(3)即知引理2的结论成立。

为了证明定理2,需要下面关于拟齐次符号H-Toeplitz算子的结论。

引理3 令p为整数,n为非负整数,φ为有界径向函数,则以下结论成立:

证明:注意到

则利用再生核公式(1),当n+p≥0时,有

当n+p<0时,由上述计算过程可知Beip θφ(z2n)=0。同理,当n+1≤p时,

当n+1>p时,由上述计算过程可知Beip θφ(z2n+1)=0。综上即知结论成立。

函数φ∈L1([0,1],rdr)的Mellin变换φ^定义如下:

显然,φ的Mellin变换φ^定义在半平面{z:Rez≥2}上。对于Mellin变换,有以下的重要结论[15-16]

引理4 令φ∈L1([0,1],rdr),如果存在正整数n0、p,对所有的正整数k都有φ^(n0+pk)=0,那么φ=0。

本研究首先考虑调和函数符号的H-Toeplitz算子关于复共轭Cα的复对称性。

2 主要结果

定理1 设φ∈L(D)为调和函数,则Bφ为Cα-对称当且仅当φ=0。

由引理2可知对非负整数m、n,

由CαBφCα=B*φ可知,当2m+1≥n时,有

当2m+1<n时,有

令k=2m+1-n≥0,则2m=k+n-1代入式(5)可得:

令j=n-2m-1≥1,则n=j+2m+1代入式(6)可得:

注意到

因此在式(7)和式(8)中分别令n→∞,m→∞,可得:

ak=0,k≥0; bj=0,j≥1。

即得

对于符号为式(4)所示的H-Toeplitz算子,尚不清楚上述结果是否成立,但在某些限制条件下,上述结论仍然成立。

定理2 设N为整数,

则Bφ为Cα-对称当且仅当φ=0。

证明:充分性显然,下证必要性。设H-Toeplitz算子Bφ关于复共轭Cα复对称,即满足CαBφCα=B*φ。对于每个非负整数n,由引理3有

则当2m+1≤n+N时,有

同理由引理3可知,当n≥max{N,0}时,有

〈z2m+1,B*φ(z2n)〉=〈Bφ(z2m+1),z2n〉=0。

因此当2m+1≤n+N且n≥max{N,0}时,有

φ^2m+1-n(n+2m+3)=0。

令k=2m+1-n,则对于每个k≤N,由上述计算得到:

φ^k(2n+k+2)=0,n≥max{N,0,-k}。

于是由引理4可知,φk=0,k≤N,即得

3 结 语

本研究探讨了Bergman空间上一类H-Toeplitz算子关于给定复共轭Cα的复对称性。从特殊符号入手,通过考察调和函数符号或非调和函数符号的H-Toeplitz算子,来研究该算子关于Cα的复对称性。结果表明,当符号为调和函数符号或由拟齐次函数的和组成的非调和函数符号时,对应的H-Toeplitz算子关于给定的复共轭为复对称当且仅当该符号为零。

参考文献