二分支链环L=L₁∪L₂称为二邻近于W=W₁∪W₂,假如存在L的两个交叉c₁,c₂,则改变其中任何1个或同时改变它们2个得到的都是W^[1]767。对于定向的链环也有相似定义,本文假设所考虑的链环是有定向的。记实现二邻近的交叉的符号分别是α,β。D=D(oc₁,oc₂)是分别打开这两个交叉所得到的链环。进一步,根据二邻近的定义,以及文献[1]⁷⁶⁸的讨论可知,相关的2个交叉不可能是2个分支形成的交叉,不失一般性,假设改变c₁后L₁成为了W₁,于是L₂=W₂,lk(L)=lk(W)^[1]769(下文中我们均使用这些假设)。二邻近链环的概念从提出到现在也有将近20年的时间了,但二邻近链环的研究成果并不是很多,足见其研究有一定的难度。目前主要的研究结果是由文献[1]^768-775和文献[2-5]给出的,其中特别是文献[1]^768-770的研究,给出了一些判别一般链环间的二邻近性的方法和结果。与本研究相关的结果,读者可以参考命题1～5。本研究旨在提供二邻近链环应该满足的一个新的关系式,以此也作为前述文章的一个补充。

我们有以下结果:

定理 如上假设,且实现二邻近的2个相关交叉c₁,c₂分别在L的不同分支上,则a₃(D)=λ²lk(L),λ∈Z。其中a₃(D)是D的Conway多项式中z³的系数。

最后,将给出一个例子来说明这个定理的应用。这里假定读者已了解一些相关的基本知识,也可参考文献[6-7]。

假如G=L₁∪L₂∪L₃∪L₄是有4个分支的定向链环,记lk(L_i,L_j)=l_ij,i≠j为2个不同分支之间的链环数,则。

命题1^{[1]768,[9-10]} 令a₃(G)是链环G的Conway多项式Δ(G)(∈Z[z])中z³的系数,则

a₃(G)=-l₁₂l₁₃l₁₄-l₁₂l₂₃l₁₄-l₁₃l₂₃l₁₄-l₁₂l₁₃l₂₄-l₁₃l₁₄l₂₄-l₁₂l₂₃l₂₄-l₁₃l₂₃l₂₄-l₁₄l₂₃l₂₄-

l₁₂l₁₃l₃₄-l₁₂l₁₄l₃₄-l₁₂l₂₃l₃₄-l₁₃l₂₃l₃₄-l₁₄l₂₃l₃₄-l₁₂l₂₄l₃₄-l₁₃l₂₄l₃₄-l₁₄l₂₄l₃₄。

命题2^[1]768 如前假设,有

Δ(L)=αβz²Δ(D(oc₁,oc₂))+Δ(W)。

命题3^[1]770,[11] 记号和假设如前,又假设V(G; t)(∈Z[t^±1/2])(简记为V(G))是链环G的Jones多项式,c(G)是它的分支数,则

1)V'(G; 1)=-3(-2)^c(G)-2lk(G);

2)V(D(oc₁,oc₂); t)=αβt^1-α-β(V(L; t)-(t^2α+t^2β-t^2(α+β))V(W; t))(1-t)^-2。

命题4^[1]769 记号和条件同上,lk(L)=lk(W)≠0,a₃(L)=a₃(W),则D(oc₁,oc₂)有4个分支。

命题5^[1]770 记号和条件同上,若实现二邻近的2个交叉都在L₁上,且D(oc₁,oc₂)有4个分支,则

且假如L₂与D(oc₁,oc₂)的任一不同于L₂的分支的链环数都不为零,则a₃(D(oc₁,oc₂))为(lk(D(oc₁,oc₂))-2lk(L))²lk(L); 否则为|a₄(L₁)-a₄(W₁)|lk(L)。

如前假设,并假设交叉c₁,c₂分别在L₁,L₂上,L₁打开c₁后使其成为链环oc₁=G₁∪G₂,L₂打开c₂后使其成为链环oc₂=G₃∪G₄,l_jk=lk(G_j∪G_k),于是a₂(L₁)-a₂(W₁)=lk(oc₁)=l₁₂。如果先改变c₂,则有2种情形:

1)如果L₂(=W₂)变成W₂,那么L₁=W₁,0=a₂(L₁)-a₂(W₁)=lk(oc₁)=l₁₂,0=a₂(W₂)-a₂(W₂)=lk(oc₂)=l₃₄。

2)如果L₂(=W₂)变成W₁,那么W₂=W₁,L₁=W₂,即L₁=W₂=W₁,也即0=a₂(W₂)-a₂(W₁)=lk(oc₂)=l₃₄,且0=a₂(L₁)-a₂(W₁)=lk(oc₁)=l₁₂。

所以无论哪一种情形,都有l₁₂=0=l₃₄,故

因L二邻近于W,所以

0=a₃(L)-a₃(W)=αa₂(oc₁,c₂)=αa₂(G₁∪G₂∪L₂)=βa₂(L₁∪G₃∪G₄),

即

但lk(G₁,L₂)=l₁₃+l₁₄,lk(G₂,L₂)=l₂₃+l₂₄,l₁₂=0,lk(G₁,L₂)+lk(G₂,L₂)=lk(L),lk(G₃,L₁)=l₁₃+l₂₃,lk(G₄,L₁)=l₁₄+l₂₄,l₃₄=0,lk(G₃,L₁)+lk(G₄,L₁)=lk(L),故

也即

lk(L)=l₁₃+l₂₃,l₁₄=-l₂₄,或lk(L)=l₁₄+l₂₄,l₁₃=-l₂₃,

且

lk(L)=l₂₃+l₂₄,l₁₃=-l₁₄,或lk(L)=l₁₃+l₁₄,l₂₃=-l₂₄。

综合得,若L的其中1个分支A的交叉被打开后得2个分支,则lk(L)就等于A的其中1个分支与L中的另1个分支B的链环数,而A的另1个分支与L的另1个分支B的链环数为零。

下面来计算a₃(D)。

根据命题1,因为l₁₂=l₃₄=0,所以

a₃(D)=-l₁₃l₂₃l₁₄-l₁₃l₁₄l₂₄-l₁₃l₂₃l₂₄-l₁₄l₂₃l₂₄。

根据式(1),只能有以下4种情形:

1)lk(L)=l₁₃+l₂₃,l₁₄=-l₂₄,且lk(L)=l₂₃+l₂₄,l₁₃=-l₁₄,故

a₃(D)=l²₁₃(l₁₃+l₂₃)=l²₁₃lk(L);

2)lk(L)=l₁₃+l₂₃,l₁₄=-l₂₄,且lk(L)=l₁₃+l₁₄,l₂₃=-l₂₄,故

a₃(D)=-l²₁₄(l₂₄-l₁₃)=l²₁₄lk(L);

3)lk(L)=l₁₄+l₂₄,l₁₃=-l₂₃,且lk(L)=l₂₃+l₂₄,l₁₃=-l₁₄,故

a₃(D)=l²₁₃(l₂₄-l₁₃)=l²₁₃lk(L);

4)lk(L)=l₁₄+l₂₄,l₁₃=-l₂₃,且lk(L)=l₁₃+l₁₄,l₂₃=-l₂₄,故

a₃(D)=l²₁₃(l₁₄-l₂₃)=l²₁₃lk(L)。

这样就完成了定理的证明。

图1 L4a1和L9n10
Fig.1 L4a1 and L9n10

例:若定向的链环L4a1与L9n10如图1所示,则不可能通过改变2个异号的交叉使得前者二邻近于后者。

因Δ(L4a1)=z³+2z,Δ(L9n10)=z⁵+z³+2z,根据命题2,D的Conway多项式为(Δ(L4a1)-Δ(L9n10))z^-2=-z³。由假设αβ=-1,知a₃(D)=1,而且由命题4得知D有4个分支。

因V(L4a1)=-(1+t²-t³+t⁴)t^-3/2,且

V(L9n10)=-t^-5/2(-1+3t-4t²+5t³-5t⁴+5t⁵-3t⁶+2t⁷),

由命题3中的结论2)得,V(D; t)=-t(V(L4a1)-(t²+t^-2-1)V(L9n10))(1-t)^-2),所以V'(D; 1)=-24。由命题3中的结论1)得,lk(D)=2。如果c₁,c₂是L4a1的同一个分支的交叉,那么根据命题5,a₃(D)应该等于(lk(D)-2lk(L))²lk(L)=8或者|a₄(L₁)-a₄(W₁)|lk(L)=0。显然,这都是不可能的。因此,c₁,c₂分别在不同的分支上。于是,根据上面的结论,得到a₃(D)=2a²,a∈Z,这也是不可能的,因为a₃(D)=1。

综上,L4a1不可能通过改变2个异号的交叉来实现二邻近于L9n10。