声子晶体(phononic crystals, PCs)作为一种人工周期性结构,由至少两种及以上的具有不同物理性能的材料组成,这种结构周期性使其具有让特定频率无法传播的现象被称为带隙。材料的许多特性也源于带隙,例如拓扑绝缘体^[1-2]、负折射^[3-4],并且在新型声学器件中有着广泛的应用,例如滤波器^[5-6]、声学掩蔽^[7-8]、减振降噪^[9-10]等。

1993年,声子晶体的概念由Kushwahap等^[11]首次提出,之后越来越多的学者投入带隙产生机制^[12]、计算方法^[13-14]及调谐^[15-16]的研究中。功能梯度材料是一种各组分在空间上连续梯度变化的材料,通过将功能梯度材料作为两种不同性质材料的夹层可以消除材料的物理性能突变现象,能较好地避免或降低应力集中,从而优化结构整体性,因此功能梯度材料(functionally graded material, FGM)被大量应用到了声子晶体模型中^[17-18],Bian等^[19]研究了热敏黏弹性声子晶体中垂直入射的SH波(shear horizontal wave,SH-wave)的带隙,以三参数固体模型描述其黏弹性,利用层合模型和传递矩阵法得到SH波色散方程,并求解其带隙。Guo等^[20]研究了由新型超材料构成的功能梯度声子晶体中P波(primary wave, P-wave)和SV波的传播。然而,在实际应用中,声子晶体中的斜入射情况更为常见和重要,关于在声子晶体中斜入射波的研究^[21-22]有很多,Golub等^[23]研究了斜入射SH波在具有功能梯度夹层的周期性层合复合材料中的传播; Fomenko等^[24]研究了在压电FGM PCs中传播的斜入射P波和SV波的能带结构。

目前对功能梯度声子晶体的能带结构^[25-26]的研究有很多,但大多建立在层合模型的基础上。该类方法在分层数量与计算效率、收敛性之间存在矛盾。本研究在引入应力变换后,基于状态空间法求解了斜入射SH波在一维梯度指数变化的功能梯度声子晶体中传输时的精确解,并通过传递矩阵法建立了色散方程。通过数值算例,讨论了指数梯度和入射角对带隙结构的影响规律。本文给出的精确解,可用于各类近似解与数值解的检验。

图1显示了由一个周期内具有不同梯度分布的两部分组成的一维功能梯度弹性声子晶体。

图1 具有两种不同组分的功能梯度声子晶体示意图
Fig.1 Schematic diagram of functionally graded phononic crystals with two different constituents

当SH波斜入射时,仅有SH波通过此一维功能梯度声子晶体。z方向上的位移u_z,仅与x、y及t相关。此时的运动方程为

本构方程为

假设每个组分中的材料参数为指数函数

(μ,ρ)=(μ₀,ρ₀)exp[κ(x-x₀)]。(3)

式(3)中:κ为梯度指数; x₀为一个组分的左边界; μ₀为x₀处的Lamé常数。

在以往的研究中总是采用层合模型来近似梯度分布,本研究引入如下应力变换:

式(4)中:k_y=ω/(c_T)sinθ; ; 应力脚标中的i取x或y。

式(1)～(4)整理后可导出状态方程:

可求得每个组分中的位移、应力解为

式(6)中:Q为x=x₀处的状态向量; 矩阵

位移

利用应力和位移在相邻组分界面处的连续条件,可得如下关系式:

Q_A,N=T_BT_A×Q_A,N-1。 (7)

其中T_B=exp[a_B·G(μ_B,ρ_B,κ_B)],T_A=exp[a_A·G(μ_A,ρ_A,κ_A)]。

根据Bloch定理,应力和位移应满足:

式(8)中:ψ为波矢。结合式(7)～(8)可得色散方程如下:

|T_BT_A-exp(iψa)×I|=0。 (9)

波发射基体(均匀且无限)中斜入射SH波位移、应力状态向量可表示为:

在波接收基体(均匀且无限)中的位移、应力状态向量可表示为:

根据波发射基体与声子晶体第一个单胞的左界面处位移、应力连续条件可得

根据波接收基体与声子晶体最后一个单胞的右界面处位移、应力连续条件可得:

进而可得斜入射SH波入射声子晶体前后的振幅关系为:

斜入射SH波的有效入射和发射功率分别为:

斜入射SH波的传输率

采用钛酸锶钡(Ba0.7Sr0.3TiO3, BST)和聚对苯二甲酸丁二醇酯(polybutylene terephthalate, PBT)的材料参数作为梯度声子晶体的能带研究参数,其具体数值见表1。在本研究中,把由两种梯度材料组成一周期的声子晶体称为双梯度声子晶体,若无特殊说明材料A为BST,材料B为PBT。由单种梯度材料组成一周期的声子晶体称为单梯度声子晶体。

表1 BST和PBT在30 ℃时的材料参数
Table 1 Material parameters of BST and PBT at 30 ℃

由于本研究提出的一维指数分布的功能梯度声子晶体,其Lamé常数与密度具有相同的指数分布,因此SH波在同一组分中波速保持不变。根据Snell定理,此时SH波的传播路径如图2所示(类似于在均匀材料中的传播形式),其中θ₀为波发射器的入射角角度,θ₁为材料A中的折射角角度,θ₂为材料A中的反射角角度,θ₃为材料B中的折射角角度。

图2 SH波斜入射功能梯度声子晶体示意图
Fig.2 Schematic of oblique incident SH wave in the graded phononic crystals

图3为SH波斜入射梯度弹性声子晶体时,精确解与层合模型及传输率的对比,其中材料参数为:κ'A=κ'B=0.5(κ'_A=κ_Aa_A,κ'_B=κ_Ba_B),θ₁=45°。由图3可知,60层的层合模型与精确解的结果非常接近,禁带位置与传输率的结果完全重合。

图3 本研究精确解与层合模型(分成60层)得到的色散曲线(左)和传输(右)的对比
Fig.3 Comparison of dispersion curves between present exact solutions and laminated models with 60-layer(left part), and transmission rate(right part)

图4为探究SH波斜入射此双功能梯度声子晶体时,入射角大小对带隙宽度及频率中心位置的影响,其中κ'A=κ'B=0.015。由图4可知,入射角的改变对带隙宽度大小及频率中心位置均有影响:在一定范围内,随着入射角度的增大,一阶带隙宽度呈减小趋势,频率中心位置呈升高趋势; 二阶带隙宽度呈减小趋势,频率中心呈升高趋势; 三阶带隙宽度先增加后减少,频率中心位置呈升高趋势。在入射角度由60°增至80°的过程中,前三阶带隙宽度减小比率明显增大,频率中心位置显著上升。

图4 双梯度弹性声子晶体中斜入射SH波带隙
Fig.4 Band gap of oblique incident SH wave in double-gradient elastic phononic crystals

图5中单梯度声子晶体的材料参数均取PBT(30 ℃)的参数,而κ'A=0.15。本算例为探究SH波斜入射单梯度声子晶体时,入射角对带隙宽度以及频率中心位置的影响。由图5可知:在一定范围内,随着入射角度的增大,前三阶带隙宽度均呈增大趋势,频率中心位置均呈升高趋势。在入射角度由45°增至80°的过程中,频率中心位置的改变是显著的。

图5 单梯度弹性声子晶体中斜入射SH波带隙
Fig.5 Band gap of oblique incident SH wave in single gradient elastic phononic crystals

图6中双梯度声子晶体由A、B两种梯度材料组成一个周期,其中 θ₁=45°。由图6可知,梯度的改变对带隙宽度及频率中心均有影响。在一定梯度范围内,随着梯度的增大,一阶带隙宽度呈减小趋势,频率中心位置呈升高趋势; 二阶带隙宽度呈减小趋势,频率中心呈升高趋势; 三阶带隙宽度呈减小趋势,频率中心位置呈升高趋势。

图6 双梯度声子晶体中斜入射SH波带隙
Fig.6 Band gap of oblique incident SH wave in double-gradient phononic crystals

图7中单梯度声子晶体的材料参数均取PBT(30 ℃)的参数,其中θ₁=45°。由图7中带隙结果可知,在一定梯度范围内,随着梯度值增大,前三阶带隙宽度均呈增大趋势,频率中心均呈下降趋势。

图7 单梯度声子晶体中斜入射SH波带隙
Fig.7 Band gap of oblique incident SH wave in single gradient phononic crystals

本研究提出了一种创新的精确解析解来计算具有指数分布特性的功能梯度声子晶体中斜入射SH波的能带结构。由于采用了应力变换技术,可以不考虑层合模型而以状态向量的形式表示应力和位移。基于传递矩阵法和Bloch定理,导出了斜入射SH波的色散关系。层合模型、传输率的计算结果,与本研究提出的精确分析方法的结果进行了对比,验证了本文方法的准确性。最后,以数值算例的形式,通过单梯度、双梯度声子晶体两种模型,研究并分析了梯度指标与入射角度对带隙结构的影响,展示了具有各种梯度分布的声子晶体的能带结构可调性。结果表明,梯度与入射角在单梯度声子晶体中具有更显著和稳定的调节能力。本研究提供的功能梯度声子晶体的带隙结构精确解,可作为各类近似解与数值解的检验基准。